Quantos Pacotes para ter a coleção completa?

Felizmente, existem pessoas por aí a fora que abriram centenas de Pacotes e documentaram os resultados. Em geral, parece ser algo assim:

• Lendárias em média 1 a cada 20 Pacotes.
  
• Épicas em média 1 a cada 5 Pacotes.
  
• Raras em média 1 por pacote. (Enquanto cada pacote é garantido ter ao menos uma carta Rara+, algumas vezes você consegue múltiplas Raras e algumas vezes você não consegue Raras porque sua garantia de Rara+ torna-se Épica ou Lendária.)
  
• Comum são o resto.
  
• 10% das cartas Rare+ viram Douradas.
  
• 2% das cartas Comuns viram Douradas.
  

Nós vamos assumir que estes números são exatos. Na maioria das vezes existem algum tipo de margem de erros na implementação atual, mas sem acesso a uma fonte oficial, este é o melhor que podemos fazer.

Com 33 Lendárias no jogo e 20 Pacotes por Lendária, uma estimativa de primeira ordem é que nós precisaremos abrir 20*33log(33) Pacotes, ou aproximadamente 2300. (Por que o log? Leia sobre o Coupon collector's problem!) Na verdade, o número, que é o que nós estamos tentando computar precisamente, será menor devido à mecânica do Pó Arcano.

O ponto é que existem muitos Pacotes que nós estamos abrindo aqui, e dado que Pacotes são independentes e identicamente distribuídos (outra suposição, mas uma incontroversível), o desvio padrão relativo sobre 2300 amostras é por volta de 2%. Isso significa que o erro assumindo o número de cartas de cada raridade que conseguimos é deterministicamente igual, que dizer que está na magnitude de 2%. Como nossos únicos dados disponíveis são a média de frequências, nós não temos escolha e somente serão feitos computações médias, mas isso justifica que o erro será provavelmente razoavelmente pequeno.

Eu não acho que ninguém achará isso surpreendente, mas vale a pena fazer a computação. Nós já vimos que as Lendárias levarão por volta de 2300 Pacotes de cartas para coletar, menos o que a mecânica do Pó Arcano nos der. As 37 Épicas levarão por volta de 2*5*37log(37) = 1336 Pacotes, as 81 Raras levarão por volta de 2*1*81log(81) = 712 Pacotes, e as 94 Comuns levarão por volta de 2*(1/4)*94log(94) = 214 Pacotes.

O tempo de coleta de cupons é conhecido por se concentrar por volta da sua média, então nós estamos quase certos que as últimas cartas a serem adicionadas a nossa coleção serão Lendárias. Isso significa que nós podemos fingir que as outras cartas somente são importantes o tanto quanto o Pó Arcano delas for considerável!

Ignorando as Lendárias, cada Deck dá em média no máximo (0.18*100+0.02*400) + (0.9*20+0.1*100) + (3.7*5+0.1*50) = 77.5 Pó Arcano. O valor oportuno de Pó Arcano das cartas que nós não estamos desencantando porque nós queremos ficar com elas é 37*2*100 + 81*2*5 = 11580 Pó Arcano. Assim, a quantidade de Pó Arcano que nós teremos por desencantar não-Lendárias depois de N Pacotes é por volta de 77.5*N - 11580.

Nós queremos saber quantas Lendárias nós precisamos pegar para termos 33 Lendárias únicas. De novo pelo Coupon Collector, o número de Lendárias K únicas (para K não perto nem de 0 e nem de N) que nós precisamos esperar é 33log(33/33-K), o que significa que depois de N Lendárias, nós esperamos ter 33(1-exp(-N/33)) Lendárias únicas. Isso quer dizer que existem N-33(1-exp(-N/33)) Lendárias que valem a pena virar Pó Arcano.

Adicionando no Pó Arcano extra de N/10 Lendárias Douradas e o resto das 20*N Pacotes de cartas, a quantidade de Pó Arcano que nós temos é 400*(N*33(1-exp(-N/33))) + (1600-400)*N/10 + 77.5*20*N - 11580. Nós queremos fazer essa quantia igual a 1600*(33exp(-n/33)+2), que é o número de Lendárias que nós precisamos criar, incluindo Gelbin Mekkatorque e Elite Tauren Chieftain (você pode criá-los mas não pode tirá-los no Pacote, certo?).

Daí temos:

2070*N - 27980 - 39600exp(-N/33) = 0

Uma rápida solução numérica dá N = 23

Opa! 23 Lendária corresponde a 460 Pacotes, que invalida nossa suposição que nós teremos conseguido todas as Épicas e Raras sem criá-las. Porém, nós estamos só um pouco por fora. Em 460 Pacotes, nós esperamos (de novo pelo Coupon Collector; trabalhando omisso de agora em diante) ter 34 das 37 Épicas, 29 das quais nós teremos um par, e todas 81 Raras, 80 das quais nós teremos um par. Isso significa que nós precisamos 11*400+1*100 = 4500 Pó Arcano para criar o resto, que na altura de 103.5 Pó Arcano por Pacote (incluindo Pó Arcano das Lendárias) nos levará para outros 44 Pacotes.

É claro, nós devemos subtrair um pouco porque nós provavelmente daremos sorte e acertaremos uma ou duas cartas que estão faltando sem precisar criá-las. Vamos arredondar as coisas e subtrair 4 Pacotes, nos dando um total de 500 Pacotes.

Nós dissemos que trabalharíamos somente com médias, mas isso não significa que nós não podemos dar uma rápida estimativa do erro. A principal variância vem de nossas Lendárias: quantas conseguimos, e quantas duplicatas nós conseguimos. Ignorando as ocasiões bizarras que nós conseguimos múltiplas Lendárias em um Pacote, o número de Lendárias em cada Pacote são independentemente 0~1 variando aleatoriamente com probabilidade muito baixa, então a variância da sua soma é aproximadamente a mesma da média. Isto dá um desvio padrão de aproximadamente √500 = 22 Pacotes. Se isso parece pouco para você, não esqueça: neste ponto quase todo peso está vindo do Pó Arcano, não cartas.

Assim, em algum lugar por volta de 450~550 Pacotes nós devemos completar.

• Você precisa por volta de 550 Pacotes para completar a coleção com certeza. Isso custará a você uns 700 dólares em dinheiro, ou 500~1000 horas dependendo do seu estilo de jogo.
  
• A mecânica do Pó Arcano tem um grande efeito, reduzindo o número médio de Pacotes requeridos de 2300 para 500.
  
• Tipicamente, você tirará metade das sua Lendárias nos Pacotes e criará a outra metade. Quase todas as outras cartas virão naturalmente.
  
• A acumulação de Pó Arcano é na verdade bem próxima de ser dividida em 1/4 cada entre Lendárias, Épicas, Raras e Comuns. Todos aqueles pequenas porções de 5 Pó Arcano e o ocasional 50 realmente ajudam muito.
  
• Com número deste tamanho, a variância é relativamente pequena, especificamente já que metade das suas Lendárias virão do Pó Arcano. Assumindo que você não use o Pó Arcano ineficientemente, você muito provavelmente conseguirá a coleção completa em algum lugar entre 450 e 550 Pacotes de cartas.
  
• Contudo, isso realmente depende das nossas suposições sobre o Drop Rate...